Durante el curso 1877-1878 ejerció funciones de sustituto personal en la Facultad de Derecho de la Universidad de Oviedo, impartiendo docencia cuando los catedráticos no podían hacerlo por ausencia o enfermedad, y en los casos en que se producían vacantes de cátedras.

En noviembre de 1880 fue nombrado profesor auxiliar gratuito de esa misma Facultad, desempeñando las cátedras de Teoría práctica de los procedimientos judiciales y Práctica Forense durante el curso 1880-1881.

Desde el año académico 1881-1882 hasta el de 1885-1886, continuó prestando servicios en la Facultad de Derecho de la Universidad de Oviedo como profesor auxiliar gratuito y sustituto personal, impartiendo docencia de diferentes asignaturas.

En 1880 y 1882 realizó oposiciones a plazas de profesor auxiliar numerario, obteniendo en ambas ocasiones el número dos, lo que impidió su nombramiento.

Cuando se estaba preparando para presentarse a otras oposiciones a profesor auxiliar, Serrano remitió a Salustiano González Regueral, que posteriormente sería elegido Senador, una carta fechada en Oviedo el 22 de noviembre de 1883, en la que le daba cuenta de las gestiones que había hecho a fin de encabezar la futura propuesta de nombramiento como profesor auxiliar. Según Serrano, ese nombramiento había sido dificultado por el Secretario de la Universidad de Oviedo. En la misma carta Serrano decía que esas gestiones habían llegado, gracias a un tal “Vicente”, hasta el Presidente del Consejo de Ministros. Serrano afirmaba que, al “haber obtenido dos segundos lugares en ternas, ninguno de los aspirantes de ésta me alcanza en méritos certificados, porque Severo Rivero y Crisanto Posada no han conseguido hacer nunca oposiciones completas”. Al parecer, se estaba refiendo a Severo Rivero Gómez y a Crisanto Posada Galván, que también impartieron docencia como profesores auxiliares en la Facultad de Derecho de la Universidad de Oviedo.

Por Real Orden de 6 de junio de 1886, Serrano fue nombrado, en virtud de concurso, profesor auxiliar numerario de la Facultad de Derecho de la Universidad de Oviedo. Tomó posesión el 20 de mayo de 1886. Cesó el 4 de enero de 1889.

Serrano se presentó a las oposiciones que se convocaron el 6 de noviembre de 1884 para proveer las cátedras de Derecho procesal civil, penal, canónico y administrativo y Teoría y práctica de redacción de instrumentos públicos de las Universidades de Barcelona, Oviedo, Santiago y Valencia. Fueron admitidos dieciocho candidatos, de los que comparecieron siete a realizar los ejercicios, que se celebraron entre los meses de enero y marzo de 1887. Uno de esos siete fue Serrano. El resultado final de las oposiciones fue muy extraño, ya que el tribunal acordó, por seis votos contra uno, no haber lugar a la provisión de ninguna de las cuatro cátedras convocadas. Asimismo, en cumplimiento de lo dispuesto en la normativa reguladora de las oposiciones, el tribunal calificó el mérito relativo de los opositores, quedando situado Serrano en quinto lugar.

El 19 de julio de 1887 se convocaron unas nuevas oposiciones para proveer las cuatro cátedras mencionadas de Derecho procesal civil, penal, canónico y administrativo y Teoría y práctica de redacción de instrumentos públicos de las Universidades de Barcelona, Oviedo, Santiago y Valencia. En esta ocasión fueron admitidos veintiún candidatos, entre los que figuraba de nuevo Serrano. Las oposiciones se celebraron entre los meses del octubre y diciembre de 1888, realizando los ejercicios nueve opositores. En esta ocasión hubo cuatro opositores que obtuvieron los votos necesarios para ser proclamados catedráticos. Uno de ellos fue Serrano, que quedó situado en tercer lugar.

En consecuencia, Serrano fue nombrado catedrático de Derecho procesal civil, penal, canónico y administrativo y Teoría y práctica de redacción de instrumentos públicos de la Universidad de Oviedo el 29 de diciembre de 1888. Tomó posesión el 5 de enero de 1889.

A causa de la entrada en vigor del Real Decreto de 26 de julio de 1892, la cátedra de Derecho Procesal que ocupaba Serrano fue suprimida, manteniéndose, con el nuevo nombre que preveía el Real Decreto mencionado (Procedimientos Judiciales, Práctica Forense y Redacción de instrumentos públicos), la otra cátedra de la disciplina que había en la Universidad de Oviedo, de la que era titular Juan María Rodríguez Arango y Murias.

Mediante Real Orden de 28 de julio de 1892, Serrano fue destinado a cubrir la cátedra de Derecho Civil español, común y foral, de la Universidad de Oviedo, que estaba vacante. Por ello, el 30 de septiembre de 1892 cesó en el desempeño de la cátedra de Derecho Procesal, y el día siguiente, 1 de octubre de 1892, tomó posesión de su nueva cátedra de Derecho Civil.

En 1914, al producirse su fallecimiento, Eduardo Serrano Branat aún estaba en activo como catedrático de Derecho Civil de la Universidad de Oviedo.

Uno de sus hijos, José María Serrano Suárez, llegaría a ser catedrático de Derecho Procesal de la Universidad de Oviedo, como lo había sido su padre. Y uno de sus nietos, Eduardo Serrano Alonso (sobrino, a su vez, de José María Serrano Suárez), obtendría una cátedra de Derecho Civil en la misma Universidad, como también la había conseguido su abuelo.